幾何学Vol.１：図形と「距離」①
こんにちは！ルシアンです。 随分と間が空いてしまい、すみません>_<
今回から、「大学数学プレスタディ」の幾何学シリーズを始めていきます^o^
前回→新企画「大学数学プレスタディ」を始めます！ - 新米数学博士の数学談話室
図形を「イレモノ」に頼らず定義するには…
前回の記事において、「幾何学」シリーズでは
イレモノを用いないで図形を定義する
という目標を掲げました。
では、具体的にどうするか。
現代数学では、
集合＋「なにか」
の形で、新しい概念を定義することがよくあります。
今回は、まず
図形＝集合＋「距離」
として、「図形」を定義する方法を紹介します。
集合における「距離」
はじめに、「集合における『距離』とは何か」を定式化しましょう。
普段私たちが「距離」と呼んでいるものには、次の性質があります。
０．ふたつの地点 に対して、「
と
の距離」とよばれる実数
が定まっている。
１． は必ず０以上、つまり
.
２．特に、「距離が０」つまり となるのは、
のときのみ。
３．距離はどっちから測っても変わらない：．
４．「寄り道をする」＝「他の地点 を経由する」と遠くなる：
．
現代数学では、身近にある「距離」とよばれるものから、この４つの性質を見いだして、数学に取り入れています。
実際、「集合の上の『距離』」は次のように定義されます。
ステップ１：
まず、「考えたい全ての地点」を集合 としましょう。
そして、「二つの地点」を表すために、
という集合を考えます。（「」という記号は「左の記号を右の意味で定義する」という意味です。）ここで、
は形式的に
と
を順に並べたものです。*1 一般に、この
を「
同士の直積集合」と呼んだりします。
ステップ２：
次に、実数値関数
を考えます。
つまり、「 のそれぞれに、実数
を対応させる」のです。（これが、上の「０番」の性質に対応しています。）
このとき、この関数 がちゃんと「距離」と呼べるものになるよう、次の条件をみたしていることを要求します。
１．全ての について、
．
２．特に、．
３．全ての について、
．
４．全ての について、
．
これで、集合 の上の「距離」
を考えることができました。
このとき、集合と関数の組 を距離空間、実数値関数
を距離関数とよびます。
なぜ「集合＋距離」が「図形」と思えるのか？
このように、「距離関数」を考えれば、集合の上の「２地点の間の距離」を定められます。
では、これでは「図形」とみなせるようになったのでしょうか？
この疑問を考えるには、「現代数学の『図形』の捉え方」を知る必要があります。
「『点の位置関係』が定まった集合」が「図形」とみなされる
一言で「図形」といっても、その中には直線、円、多角形、曲面、多面体など、様々な対象が含まれていなければなりません。
その、図形と呼ばれるべき対象の「全てに当てはまるものは何か？」という疑問に対し、現代数学は
「『点の位置関係』が定まった集合」を「図形」とみなす
という答えを出しました。
では、先ほど考えた「距離空間」は、「『点の位置関係』が定まった集合」になっているのでしょうか？
距離空間上では、「円」を考えることができる
実は、集合が距離空間となった時、わたしたちは「円」を考えることが出来るようになります。
実際、ある点と正の実数
を選ぶごとに、
と定めれば、はまさしく「中心
、半径
の円」と呼ぶのにふさわしいものになります。
さらに、
という部分集合を考えれば、これは「との距離が
未満の地点」の集まりということになります。
まさに、現実世界でいう「半径５キロ圏内」のような考え方ができるということですね。
このを、よく
の
-近傍とよびます。
この考察では「『点の位置関係』が定まった集合か」という疑問の答えとしては不十分かもしれませんが、今後具体的な例を見ていくことで、「距離が生みだす位置関係」を実感できると思います。
おわりに
次回は具体的な距離空間の例を考えて、その上の円や-近傍について考察してみたいと思います^ ^
更新を待ってくださっていた皆様へ：
ブログの更新ペースを宣言したにもかかわらず、長い間休止してしまって申し訳ありません> <
気持ちが「良い教材を作りたい」という方向に偏りすぎたためか、筆が止まってしまいました…。
改めて初心に立ち返って、このブログは
「私が見つけた数学のコツや勘どころを皆さんとシェアする」
という方針で進めていきたいと思います。
教材としては甘い作りになってしまうかもしれませんが、皆さんと楽しい時間が過ごせれば何よりです^ ^今後ともよろしくお願いします♪
