基礎論Vol.4：集合が「等しい」とはなにか？

こんにちは！ルシアンです。

今日は、基礎論の続きのお話です。前の記事から10日以上経ってしまってすみません>_<

いよいよ、公理的集合論の「公理系」について紹介していきます。

前回のおさらい

まずは、前回のおさらいです。

（前回→基礎論Vol.3:なぜ「公理的集合論」は必要なのか？ - 新米数学博士の数学談話室）

前回の記事では、次のラッセルのパラドックスを紹介しました。

ラッセルのパラドックス： $\{x \mid x \notin x \}$ が集合として扱われる「集合論」は、すべて矛盾した理論となる。

したがって、「 $x \in S \Leftrightarrow x \notin x$ 」をみたすような名詞 $S$ が集合として扱われないように、慎重に「集合の全体」を定めなければいけないのでした。

そして、これから解説するZFC公理系はその成功例、というわけです。

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では、そのZFC公理系によって定められる公理的集合論について、実際に見ていきましょう。

公理的集合論を始める準備

私たちはこの公理的集合論を厳密に定義するために、Vol.1 ,Vol.2で「記号論理学」を用意しました。

なので、これから始める「公理的集合論」も、記号論理学の意味での「理論」として扱えるように、きちんと見ていきましょう。

使える「記号」を定める

記号論理学では、使える記号は3種類で、特に理論ごとに定められるのは「特殊記号」でした。

公理的集合論で扱う特殊記号は、重み2の特殊記号「 $\in$ 」および「 $=$ 」の２つのみです。

したがって、公理的集合論で用いる記号は次のものに限られます。

論理記号： $\tau,\lor,\lnot$
文字： $x,y,z,\ldots$ （未使用の文字は何でも使える）
特殊記号： $\in,=$

特殊記号「 $=$ 」について

「 $\in$ 」という記号は集合論以外であまり見ないですが、等号「 $=$ 」はどの数学でも出てくる、と言っていいほど登場しますよね。

この「 $=$ 」という概念が、記号論理学上でどんな意味なのかを見てみましょう。

「 $=$ 」の意味は、次の２つの公理によって定められます。

１．文字 $x$ 、名詞 $T,U$ 、および命題 $R$ について、「 $T=U \Rightarrow (R|_{x=T} \Leftrightarrow R|_{x=U})$ 」は真である。

２．文字 $x$ 、および命題 $R,S$ について、「 $\big( ^{\forall}x, (R \Leftrightarrow S) ) \big) \Rightarrow \tau x R = \tau x S$ 」は真である。

公理２は「システム上必要な公理」という趣なので詳しくは述べませんが、公理１は

「『 $=$ 』で結ばれた名詞同士は、いくら置き換えても命題の真偽がかわらない」

ということを意味しています。

これはとても大事な公理です。例えば、日常的には「 $1+1$ 」はいつでも「 $2$ 」に置き換えることができます。しかし記号論理学では、「 $1+1$ 」と「 $2$ 」は異なる記号列（名詞）として定義されます。したがって、「『 $1+1=2$ 』は真」という事実と公理１を用いなければ、「 $1+1$ 」と「 $2$ 」を置き換えることすらできないのです。